数组的完全随机排列

Array.prototype.sort 方法被许多 JavaScript 程序员误用来随机排列数组。最近做的前端星计划挑战项目中,一道实现 blackjack 游戏的问题,就发现很多同学使用了 Array.prototype.sort 来洗牌。就连最近一期 JavaScript Weekly上推荐的一篇文章也犯了同样的错误。

洗牌

以下就是常见的完全错误的随机排列算法:

以上代码看似巧妙利用了 Array.prototype.sort 实现随机,但是,却有非常严重的问题,甚至是完全错误。

证明 Array.prototype.sort 随机算法的错误

为了证明这个算法的错误,我们设计一个测试的方法。假定这个排序算法是正确的,那么,将这个算法用于随机数组 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9],如果算法正确,那么每个数字在每一位出现的概率均等。因此,将数组重复洗牌足够多次,然后将每次的结果在每一位相加,最后对每一位的结果取平均值,这个平均值应该约等于 (0 + 9) / 2 = 4.5,测试次数越多次,每一位上的平均值就都应该越接近于 4.5。所以我们简单实现测试代码如下:

将上面的 shuffle 方法用这段测试代码在 chrome 浏览器中测试一下,可以得出结果,发现结果并不随机分布,各个位置的平均值越往后越大,这意味着这种随机算法越大的数字出现在越后面的概率越大

为什么会产生这个结果呢?我们需要了解 Array.prototype.sort 究竟是怎么作用的。

首先我们知道排序算法有很多种,而 ECMAScript 并没有规定 Array.prototype.sort 必须使用何种排序算法。在这里,有兴趣的同学不妨看一下 JavaScriptCore 的源码实现:

排序不是我们今天讨论的主题,但是不论用何种排序算法,都是需要进行两个数之间的比较和交换,排序算法的效率和两个数之间比较和交换的次数有关系。

最基础的排序有冒泡排序和插入排序,原版的冒泡或者插入排序都比较了 n(n-1)/2 次,也就是说任意两个位置的元素都进行了一次比较。那么在这种情况下,如果采用前面的 sort 随机算法,由于每次比较都有 50% 的几率交换和不交换,这样的结果是随机均匀的吗?我们可以看一下例子

上面的代码的随机结果也是不均匀的,测试平均值的结果越往后的越大。(笔者之前没有复制原数组所以错误得出均匀的结论,已更正于 2016-05-10)

冒泡排序总是将比较结果较小的元素与它的前一个元素交换,我们可以大约思考一下,这个算法越后面的元素,交换到越前的位置的概率越小(因为每次只有50%几率“冒泡”),原始数组是顺序从小到大排序的,因此测试平均值的结果自然就是越往后的越大(因为越靠后的大数出现在前面的概率越小)。

我们再换一种算法,我们这一次用插入排序

由于插入排序找后面的大数与前面的数进行交换,这一次的结果和冒泡排序相反,测试平均值的结果自然就是越往后越小。原因也和上面类似,对于插入排序,越往后的数字越容易随机交换到前面。

所以我们看到即使是两两交换的排序算法,随机分布差别也是比较大。除了每个位置两两都比较一次的这种排序算法外,大多数排序算法的时间复杂度介于 O(n) 到 O(n2) 之间,元素之间的比较次数通常情况下要远小于 n(n-1)/2,也就意味着有一些元素之间根本就没机会相比较(也就没有了随机交换的可能),这些 sort 随机排序的算法自然也不能真正随机。

我们将上面的代码改一下,采用快速排序

快速排序并没有两两元素进行比较,它的概率分布也不随机。

所以我们可以得出结论,用 Array.prototype.sort 随机交换的方式来随机排列数组,得到的结果并不一定随机,而是取决于排序算法是如何实现的,用 JavaScript 内置的排序算法这么排序,通常肯定是不完全随机的

经典的随机排列

所有空间复杂度 O(1) 的排序算法的时间复杂度都介于 O(nlogn) 到 O(n2) 之间,因此在不考虑算法结果错误的前提下,使用排序来随机交换也是慢的。事实上,随机排列数组元素有经典的 O(n) 复杂度的算法:

在上面的算法里,我们每一次循环从前 len – i 个元素里随机一个位置,将这个元素和第 len – i 个元素进行交换,迭代直到 i = len – 1 为止。

我们同样可以检验一下这个算法的随机性

从结果可以看出这个算法的随机结果应该是均匀的。不过我们的测试方法其实有个小小的问题,我们只测试了平均值,实际上平均值接近只是均匀分布的必要而非充分条件,平均值接近不一定就是均匀分布。不过别担心,事实上我们可以简单从数学上证明这个算法的随机性。

随机性的数学归纳法证明

对 n 个数进行随机:

  1. 首先我们考虑 n = 2 的情况,根据算法,显然有 1/2 的概率两个数交换,有 1/2 的概率两个数不交换,因此对 n = 2 的情况,元素出现在每个位置的概率都是 1/2,满足随机性要求。
  2. 假设有 i 个数, i >= 2 时,算法随机性符合要求,即每个数出现在 i 个位置上每个位置的概率都是 1/i。
  3. 对于 i + 1 个数,按照我们的算法,在第一次循环时,每个数都有 1/(i+1) 的概率被交换到最末尾,所以每个元素出现在最末一位的概率都是 1/(i+1) 。而每个数也都有 i/(i+1) 的概率不被交换到最末尾,如果不被交换,从第二次循环开始还原成 i 个数随机,根据 2. 的假设,它们出现在 i 个位置的概率是 1/i。因此每个数出现在前 i 位任意一位的概率是 (i/(i+1)) * (1/i) = 1/(i+1),也是 1/(i+1)。
  4. 综合 1. 2. 3. 得出,对于任意 n >= 2,经过这个算法,每个元素出现在 n 个位置任意一个位置的概率都是 1/n。

总结

一个优秀的算法要同时满足结果正确和高效率。很不幸使用 Array.prototype.sort 方法这两个条件都不满足。因此,当我们需要实现类似洗牌的功能的时候,还是应该采用巧妙的经典洗牌算法,它不仅仅具有完全随机性还有很高的效率。

除了收获这样的算法之外,我们还应该认真对待这种动手分析和解决问题的思路,并且捡起我们曾经学过而被大多数人遗忘的数学(比如数学归纳法这种经典的证明方法)。

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关于作者:十年踪迹

月影,奇舞团团长,热爱前端开发,JavaScript 程序猿一枚,能写代码也能打杂卖萌说段子。 个人主页 · 我的文章 · 14 ·     

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