【0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004】该怎样理解?

如果你以前没了解过类似的坑,乍一看似乎觉得不可思议。但是某些语言下事实确实如此(比如 Javascript):

再看个例子,+1 后居然等于原数,没天理啊!

如果你不知道原因,跟着楼主一起来探究下精度丢失的过程吧。

事实上不仅仅是 Javascript,在很多语言中 0.1 + 0.2 都会得到 0.30000000000000004,为此还诞生了一个好玩的网站 0.30000000000000004。究其根本,这些语言中的数字都是以 IEEE 754 双精度 64 位浮点数 来存储的,它的表示格式为:

s 是符号位,表示正负。m 是尾数,有 52 bits。e 是指数,有 11 bits,e 的范围是 [-1074, 971]ECMAScript 5 规范),这样其实很容易推出 Javascript 能表示的最大数为:

而这个数也就是 Number.MAX_VALUE 的值。

同理可推得 Number.MIN_VALUE 的值:

需要注意的是,Number.MIN_VALUE 表示的是最小的比零大的数,而不是最小的数,最小的数很显然是 -Number.MAX_VALUE。

可能你已经注意到,当计算 Number.MAX_VALUE 时,(Math.pow(2, 53) - 1) 的结果用二进制表示是 53 个 1,除了 m 表示的 52 个 bits 外,其实最前面的 1 bit 是隐藏位(隐藏位表示的永远是 1),设置隐藏位为的是能表示更大范围的数。(对于隐藏位我也不是很清楚,一说 “当 指数 e 的二进制位全为 0 时,隐藏位为 0,如果不全为 0,则隐藏位为 1,这应该是基于指数表达式的存储方式决定的,隐藏位也就是指数的底数里面的整数部分,尾数 m 则是指数中底数的 fraction 小数部分” 详见 Javascript 中小数和大整数的精度丢失问题

复习了一些组成原理的知识后,我们再回到 0.1 + 0.2 这道题本身。我们都知道,计算机中的数字都是以二进制存储的,如果要计算 0.1 + 0.2 的结果,计算机会先把 0.1 和 0.2 分别转化成二进制,然后相加,最后再把相加得到的结果转为十进制。

我们先把 0.1 和 0.2 分别转化为二进制,十进制转为二进制这里就不多说了,整数部分 “除二取余,倒序排列”,小数部分 “乘二取整,顺序排列”。也可以用 Javascript 的 toString(2) 方法验证转换的结果。

当然计算机并不能表示无限小数,毕竟只有有限的资源,于是我们得把它们用 IEEE 754 双精度 64 位浮点数 来表示:

当然,真实的计算机存储中 m 并不会是一个小数,而是上面的小数点后的 52 bits,小数点前的 1 为隐藏位

这里又出现一个问题,虽然我们已经明确 m 只能有 52 位(小数点后),但是如果第 53 位是 1,是该进位还是不进位?这里需要考虑 IEEE 754 Rounding modes,可以看下这篇文章 浮点数解惑,或者听我简单地解释下。

关于默认的舍入规则,简单的说,如果 1.101 要保留一位小数,可能的值是 1.1 和 1.2,那么先看 1.101 和 1.1 或者 1.2 哪个值更接近,毫无疑问是 1.1,于是答案是 1.1。那么如果要保留两位小数呢?很显然要么是 1.10 要么是 1.11,而且又一样近,这时就要看这两个数哪个是偶数(末位是偶数),保留偶数为答案。综上,如果第 52 bit 和 53 bit 都是 1,那么是要进位的。

另外,相加时如果指数不一致,需要对齐,一般情况下是向右移,因为最右边的即使溢出了,损失的精度远远小于左边溢出。

接下去就不难了:

9007199254740992 + 1 = 9007199254740992 的推理过程大同小异。

9007199254740992 其实就是 2 ^ 53。

因为 m 只能有 52 位,而上面相加两数相加后 m 有 53 位(已经除去首位隐藏位),又因为 Rounding modes 的偶数原则,所以将 53 bit 的 1 舍去,所以大小跟 2 ^ 52 并没有变化,试想下,如果是 + 2,那么结果就不一样了。(ps:其实 2^53 在计算机存储中的 m 只能有 52 位,即只有 52 个 0)

事实上,当结果大于 Math.pow(2, 53) 时,会出现精度丢失,导致最终结果存在偏差,而当结果大于 Number.MAX_VALUE,直接返回 Infinity。

如果你觉得已经足够了解 IEEE 754 双精度 64 位浮点数 的运算性质了,不妨试试 玉伯JavaScript 中小数和大整数的精度丢失 一文最后留下的思考题:

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关于作者:韩子迟

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